如果高斯没有故意“坑”黎曼,估计这门神奇的学科就不会出现了

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显然有两件事,怎么会有区别?

因为在拓扑学家的眼中,茶杯和甜甜圈可以通过这种转变转化为同样的东西:

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感觉很棒吗?今天,Supermodel Jun谈到了这个叫做“橡皮泥可塑性”的学科。拓扑的过去和现在。

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拓扑学是一门研究几何或空间性质的学科,它可以在不断变化的形状后保持不变。也就是说,拓扑的焦点不是传统几何意义上的一系列几何特征,如面积,体积和形状,而是更基本的“共性”和“个性”。

这种“共性”和“个性”导致通过拓扑对几何和空间进行分类,这与传统几何的分类完全不同。在拓扑中,大小和形状失去意义(但不是全部),圆形,正方形和三角形是等价的。它们可以通过连续变换相互转换;足球和橄榄球是相同的。但是足球的表面和游泳圈的表面并不相同,这就是为什么形状不会失去其全部含义。

首先注意到这种“共性”和“个性”的人是莱布尼兹。

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莱布尼兹:没有人和我争辩(看着牛顿)

然而,莱布尼茨认为的机会不是来自对几何或空间的直接观察,而是来自对抽象符号的特殊偏好。这种特殊偏好导致Leibniz尝试使用抽象符号来表示对象的几何属性。

但是当莱布尼兹有这样的想法时,笛卡尔已经创造了解析几何。使用代数探索几何属性不再是新奇事物。结果,莱布尼兹皱起眉头并不满意:笛卡尔的方法并不好,因为一些几何属性与几何的大小无关。

没有给出性质),所以当他与同一时期的许多数学家提到这一点时,他摇了摇头,并没有多加注意。

然而,莱布尼兹并不认为他的判决在三百年之后,是由两个年轻一代发展成拓扑的主要内容。

“原定理。”

他的名字是欧拉。

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欧拉:作为先锋,你必须对年轻一代有这种看法

该定理与普鲁士的柯尼斯堡有关。 Knigsberg有一个公园,

如何步行穿过七座桥而不重复和失踪,最后回到起点?

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如下图所示,如何只用一个笔划绘制整个图形?

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一块:奇点的数量必须是0或2.可以看出,在由欧拉变换的几何问题中,由线段包围的线的形状并不重要,并且该点的位置关系不会改变。这超越了传统几何学的研究并进入拓扑领域。

“一招”无法解决这个问题。

该定理也超出了传统几何的范畴:如果凸多面体具有v的顶点数,e的边数和f的面数,则它们f + v-e=2。这与莱布尼兹最初提出的想法非常接近。

闭合曲线的环绕数量成为拓扑扭结问题的代表性问题,拓扑的内容进一步丰富。

曲线的方向。

闭合的绳索缠绕时,如何判断绳索之间是否存在扭结。除了判断绳子是否打结外,还有如何对绳索进行分类的问题。

当数学家在绳索结构中挣扎时,哥廷根大学的一位无薪讲师在他的就职演说中为世界带来了现代拓扑。

哥廷根大学的无薪讲师是黎曼。

无薪讲师:指未提供固定工资的讲师,收入完全来自学生支付的学费。

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黎曼:当一位老师仍然不得不依靠学生来奖励他生活.

然而,黎曼的就职演说并不容易,或者至少是充分准备的。因为学校委员会在黎曼提交的三个主题时选择了黎曼没有想到的主题。关于几何学的基础知识假设这是他的就职演说的主题。

这次黎曼陷入瘫痪:你的委员会的想法如此独特?我看了一个不太成熟的话题来弥补这个数字,你看到了吗?

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除了当时黎曼仍然非常贫穷的事实,新主题的压力使他感到失控。

(苦恼的黎曼一秒钟)

然而,黎曼终于在七周内准备了演讲,为了让会员知道他在谈论嫉妒,他只是在观众中展示了一个公式,忽略了所有的计算细节。尽管如此,委员会成员仍然说:

听!不要!了解!

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幸运的是,有些人仍然明白这个人是先前提到的高斯先生。 (然而,他也是黎曼情绪失控的罪魁祸首黎曼的就职演说是他的选择)

让我们来看看黎曼在就职演说中是否说过:

黎曼认为,几何对象缺乏先验定义。欧几里德公理只假设未定义的几何对象之间的关系,但我们不知道这些关系是如何产生的,甚至是几何对象的原因。他们之间会有一种关系。

他认为几何物体应该有一定的延伸量。反映各种可能的度量属性。我们所居住的空间只是一个特殊数量的三度延伸,所以欧几里德公理只能来自经验,而不是几何对象基本定义的推论。欧几里德几何的公理和定理只是假设。但是,我们可以检验这些定理存在的可能性,然后尝试将它们推广到我们日常观察范围之外的几何。

他给这些广泛的扩展命名。德语写作mannigfaltigkeit,歧义的英文翻译,意思是“多层”。中国第一位拓荒学家江泽涵将其翻译为“多元化”,“多元化形式”。

黎曼还提出了“n维流形”的概念,即流形的局部部分具有与n维欧氏空间部分相同的拓扑性质,并详细阐述了延性,尺寸和可扩展性。理念。而这些集合正是现代拓扑研究的主要内容。

在黎曼之后,庞加莱继续研究黎曼留下的n维流形。他创建了使用流形来研究流形的基本方法,并引入了许多不变量:基本群,同源性,贝蒂数,划痕系数。但最着名的是他在研究三维流形时留下的“庞加莱猜想”:

任何单连通,封闭的三维流形必须与三维球体同胚。

闭合曲线可以收缩到一个点,这个空间必须是一个三维球体

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到目前为止,拓扑已经开发了几个成熟的分支:点集拓扑,代数拓扑和差分差分拓扑。这些子学科极大地拓宽了拓扑学的范围和研究方法,并使拓扑学与其他学科有着深刻的联系。例如,物理学中的超导性需要拓扑学的理论支持。

点集拓扑:有时称为一般拓扑,它研究拓扑空间和在其上定义的数学结构的基本属性。

代数拓扑:利用抽象代数研究拓扑空间数学分支的工具。

差分拓扑:研究微分流形和可微分图的数学分支。除了拓扑歧管之外,差动歧管还具有差动结构。

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也许看到这一点,许多模范朋友仍然无法理解拓扑研究是什么,并不重要。因为这是一个非常困难的主题。我们现在需要理解的是永远保持知识的核心,而不是受现有认知的束缚,正如拓扑学家在面对茶杯和甜甜圈时可以说同样的话。

“从更基础的层面来看,这两件事没有区别。”

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“超级数学建模”(micro-signal supermodeling),每天学习一点知识,轻松理解各种思维,成为一个有趣的理性主义者。